插值论题

　　习题IV.2 定义f为仿射保持（Affine Preserved）的，如果对任意向量x₁和x₂有f((1 - a) * x₁ + a * x₂) = (1 - a) * f(x₁) + a * f(x₂)，证明：f仿射保持的充要条件是f是仿射变换。
　　证：充分性易证，只证必要性。由仿射保持性，f(a * x)= f(a * x + (1 - a) * 0) = a * f(x) + (1 - a) * f(0)。令g(x) = f(x) - f(0)，则g(a * x) = a * g(x)，即g满足乘法不变性。又g(0.5 * x₁ + 0.5 * x₂) = f(0.5 * x₁ + 0.5 * x₂) - f(0)= 0.5 * (f(x₁) - f(0))+ 0.5 * (f(x₂)- f(0)) = 0.5 * g(x₁) + 0.5 * g(x₂) = g(0.5 * x₁) + g(0.5 * x₂)，由x₁和x₂的任意性，可知g满足加法不变性。于是g是线性变换，也就证明了f是仿射变换。证毕。
　　习题IV.3 证明A(f(x₁, x₂)) = f(A(x₁), A(x₂))的充要条件是f是仿射组合。
　　引理IV.3(1) 如B(f(x)) = f(B(x))，其中f不是零映射，x是二维或以上向量，则对任意x != y，必有f(x) != f(y)。
　　证：首先由题设容易证明f不是常值映射，即存在x' != y'使得f(x') != f(y')。如果存在x != y使得f(x) = f(y)，易证不存在关系p * x =q * y，于是这样可以找到线性变换G使得x' = G(x)，y' = G(y)，如此，f(G(x)) = f(x') != f(y') = f(G(y))，但G(f(x)) = G(f(y))，和题设矛盾。证毕。
　　引理IV.3(2) 如B(f(x)) = f(B(x))，其中B是线性变换，x是向量，则f(x) = p * x，p是数域中的某数。
　　证：对f是零映射的情形，就对应p = 0，只需证明非零情形。对x是一维向量，k * f(1) = f(k)，已得证。对x是高维向量，首先由引理IV.3(1)，任意x != y，总有f(x) != f(y)，对于使得B(x) = B(y)的B，由题设要求，也要有B(f(x)) = B(f(y))，这样必须有f(x) - f(y) =p * (x - y)，易证p对任意x和y是一常数。另一方面，B(f(0)) = f(B(0)) = f(0)，由B的任意性，f(0) = 0。于是必有f(x) =p * x。证毕。
　　习题IV.3，证：充分性易证，只证必要性。由题设，f(x, 0) + u = f(x + u, u)，其中令x₁ = x，x₂ = 0，A(x) = x + u。令v = x + u，于是有f(v, u) = f(v - u, 0) + u，由引理IV.3(2)，f(t, 0) = k * t，k是数域中某值。于是f(v, u) = k * v + (1 - k) * u。证毕。
　　引理IV.3(3) 如n维线性空间中，A(f(x₁, ..., x_m)) = f(A(x₁), ..., A(x_m))，m <= n，则有f(x₁, ..., x_m) = k₁x₁+ ... + k_mx_m。
　　证：由引理IV.3(2)，f(x₁, 0, ..., 0) = k₁ * x₁，对其他向量也有类似结论。于是有，f(x₁, ..., x_m) = k₁x₁+ ... + k_mx_m + h(x₁, ..., x_m) 。h也满足题设性质，同时h(x, 0, ..., 0) = 0, ..., h(0, ..., 0, x) = 0，只要证明对任意向量组h(x₁, ..., x_m) = 0。对于线性无关的y₁, ..., y_m（由于m <= n，故存在），c = h(y₁, ..., y_m)必是y₁, ..., y_m的线性组合。否则，构造线性变换B，B(y_k) = 0，对所有k = 1, ..., m，而Bc != 0，和题设矛盾。因此c = c₁ * y₁ + ... +c_m * y_m，不妨设c₁ != 0，于是可构造线性变换D，D(y₁) != 0，而对所有k = 2, ..., m有D(y_k) = 0，于是D(c) != 0，但h(D(y₁), ..., D(y_m)) = 0，与题设矛盾。因此h将线性无关的一组y_k映射成0。而对于线性相关的z_k，总能找到一个线性变换E，使得z_k = E(y_k)，k = 1, ..., m。于是h(z₁, ..., z_m) = h(E(y₁), ..., E(y_m))= E(h(y₁, ..., y_m)) = 0。于是h恒为0。证毕。
　　借助此引理，不难根据习题IV.3证明思路推广如下：
　　习题IV.3（推广）A(f(x₁, ..., x_m)) = f(A(x₁), ..., A(x_m))，其中m <= dim(V) + 1，其充要条件是 f是仿射组合。

　　习题IV.9 证明|v_1p| * |v_2p| * sin(theta)= (v₁ ×v₂)·n。
　　证：v₁ = v_1p + v_1n，v₂ = v_2p + v_2n，于是(v₁ ×v₂)·n = (v_1p×v_2p)·n + (v_1p×v_2n + v_2p×v_1n )·n，容易证明后一项是0，而前一项即是|v_1p| * |v_2p| * sin(theta)。