仿射变换下的法向量

问题原址：http://topic.csdn.net/u/20080309/16/64b1e2e5-44af-4307-919c-45ead95e69c6.html?seed=1048831947&r=60114068#r_60114068

根据原题，这个是顶点着色中常见的问题。

1楼Jiana关于这个说的很明确：“法线不是一般概念的真正向量”。这句话的本意是对的，就是平面（或切平面）的法线不能简单的通过仿射变换矩阵直接得到变换后空间的法线，但并不是像从字面上理解，法线（法向量）就不是向量了。

其次链接中讨论了法向量方向的确定，经过下面论证可以发现，还是有必要进行一番工作的。长话短说，以下就交给数学了，所有的算式未加说明采用matlab符号，但等号用'='表示。

一般三维平面向量方程：

dot( (p - p0), n ) = 0

但是仿射空间延拓到四维，内积就不为0了，但也不能轻易写dot( (p - p0), n ) = 1，因为这样解出来的显然不是所需要的平面（即使n和p0都归一化），因为这增加的一维增加了自由度。另一方面，仿射空间向量减法不是一般的四维向量减法，它必须在归一化只做后前三分量相减，我们只能记： p[-]p0和n正交，其中[-]表示这种特殊的减法。

假设仿射变换为A，

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

0 0 0 1

那么经过变换后发现和平面交点p0变为A*p0，平面上任一点p变为A*p，变换后平面的法向量设为m，显然要求有：

A*p [-] A*p0和m正交。设p0和p都是归一化的（以下向量不加说明均为归一化的），并令e4 = [0 0 0 1]'，于是有：

A*p [-] A*p0= A*p- A*p0 + e4 = A*(p-p0) + e4 = Ah*(p [-] p0)

其中Ah是A的去除平移分量版本，即a14，a24和a34为0的A。

这样就有：Ah*(p [-] p0)和m正交。令A3=Ah的3x3主子式，p3、n3和m3分别是(p [-] p0)、n和m的的前三分量构成的三维分量（退化的三维向量），根据Ah的性质，可以发现这个正交和前一个正交分别等价于：

(A3 * p3)' * m = 0，p3' * n = 0

上述方程组的解包括：

m= inv(A3)'*n或m= -inv(A3)'*n

上述过程的意义是p [-] p0（即切向量）在仿射变换中应退化到3维空间讨论（与平移无关）。

需要注意，其中一个解只保证了和平面的垂直，但是没有保持法向量原有的方向。例如原先在曲面外侧的法向量在变换后应当仍保持在外侧。

法向量的方向保持只有通过以切向量内积求法向量达成。这个过程非常繁琐，而且我们本身知道的是法向量而并没有从切向量出发，因此我们在此只是构造一下，通过比较以找出这个保持方向的正负号。

所谓切向量集就是满足平面方程的p [-] p0，我们取其中两个线性无关的分别记做u和v，根据上面讨论，在三维空间中讨论，仿射变换后，他们变为A3*u和A3*v。规定平面法向量是已定的一对切向量的外积，即cross(u,v)，这样变换后的法向量为cross(A3*u, A3*v)。下面对这两个外积进行展开，这个过程相对比较繁琐。

n = cross(u, v) = [u2*u3 - u3*v2, u3*v1-u1*v3, u1*v2-u2*v1]'

m = cross(A3*u, A3*v) = [(a2*u)*(a3*v) - (a3*u)*(a2*v), (a3*u)*(a1*v), (a1*u)*(a2*v)-(a2*u)*(a1*v)]'

其中a1、a2和a3分别为A3的第1、2和3行。

简便起见，我们只对m的第一个分量进行展开：

(a2*u)*(a3*v) - (a3*u)*(a2*v)

= (a21*u1 + a22*u2 + a23*u3)(a31*v1 + a32*v2 + a33*v3)
- (a21*v1 + a22*v2 + a23*v3)(a31*u1 + a32*u2 + a33*u3)

= (a22*a33 - a23*a32) * (u2*v3 - u3*v2)
+ (a23*a31 - a21*a33) * (u3*v1 - u1*v3)
+ (a21*a32 - a22*a31) * (u1*v2 - u2*v1)

再来看算式inv(A3)'*n的展开：

inv(A3)' =

1 [ M11 -M12 M13]

------- [-M21 M22 -M23]

det(A3) [ M31-M32 M33]

这样，撇开最前面的系数，inv(A3)'*n的第一个分量为：

M11*(u2*v3 - u3*v2) - M12*(u3*v1 - u1*v3) + M13(u1*v2 - u2*v1)

M11 = a22*a33 - a23*a32

-M12 =a23*a31 - a21*a33

M13 = a21*a32 - a22*a31

在预料之中，这个结果和上述的第一分量一致。

但最终inv(A3)'*n和上述的结果相差1/det(A3)系数，我们这里关心正负性，因此在inv(A3)'*n之前需要补偿det(A3)的符号。

因此最终在仿射空间中，这个方向纠正的法向量可以通过 sign(det(Ah))*inv(Ah)'*n得出。